Czym jest punkt pracy magnesu?

Będziemy rozpatrywali magnes stały, który znajduje się w idealnie otwartym obwodzie magnetycznym, i na który nie działają żadne zewnętrzne pola magnetyczne. Dla uproszczenia zakładamy również, że magnes w całej swojej objętości jest jednorodny. Korzystamy z układu SI i poruszamy się po II ćwiartce pętli histerezy.

 

Punkt pracy określa rzeczywisty stan magnetyczny magnesu stałego w konkretnym układzie. Ten sam fizyczny stan pracy magnesu można przedstawić za pomocą dwóch odpowiadających sobie punktów, zależnie od tego, jaką wielkość fizyczną analizujemy:

 

• Punkt pracy na wykresie polaryzacji J(H), oznaczany jako P_J (o współrzędnych H_d, J_d): opisuje stan namagnesowania materiału.
• Punkt pracy na wykresie indukcji B(H), oznaczany jako P_B (o współrzędnych H_d, B_d): opisuje wartość indukcji magnetycznej B wewnątrz magnesu w jego rzeczywistym stanie pracy.

Wartości J_d oraz B_d w punkcie pracy nie należy utożsamiać odpowiednio z remanencją Jr oraz Br.

 

Remanencja Br jest wartością indukcji magnetycznej B przy H = 0, po uprzednim namagnesowaniu materiału do nasycenia. Analogicznie Jr oznacza wartość polaryzacji magnetycznej J przy H = 0.

 

W magnesie pracującym w otwartym lub częściowo otwartym obwodzie magnetycznym występuje wewnętrzne pole odmagnesowujące, które powoduje, że rzeczywisty stan magnesu znajduje się przy H < 0, a więc w punkcie pracy położonym w II ćwiartce pętli histerezy magnetycznej.

 

Wartości H_d, B_d i J_d

 

H_d oznacza natężenie wewnętrznego pola magnetycznego H w punkcie pracy magnesu.

W przypadku swobodnie pracującego magnesu trwałego, na który nie działa dodatkowe pole zewnętrzne, H_d odpowiada przede wszystkim polu odmagnesowującemu wynikającemu ze skończonych wymiarów i kształtu magnesu. W rzeczywistym układzie na jego wartość mogą wpływać również inne elementy obwodu magnetycznego, takie jak szczelina powietrzna, jarzmo, inne magnesy lub cewki.

Pole odmagnesowujące jest skierowane przeciwnie do kierunku namagnesowania, dlatego przy standardowej konwencji znaków w II ćwiartce pętli histerezy magnetycznej:

 

H_d < 0

 

B_d oznacza wartość indukcji magnetycznej B wewnątrz magnesu w punkcie pracy P_B, odpowiadającą wartości pola H = H_d.

J_d oznacza natomiast wartość polaryzacji magnetycznej J w tym samym stanie pracy, odczytaną z charakterystyki J(H).

Wartość H_d jest zatem wspólną współrzędną obu punktów opisujących ten sam fizyczny stan magnesu:

 

• P_B = (H_d, B_d) – punkt pracy na charakterystyce indukcji B(H),
• P_J = (H_d, J_d) – odpowiadający mu punkt pracy na charakterystyce polaryzacji J(H).

Wartości B_d i J_d są ze sobą związane zależnością:

 

B_d = J_d + μ₀H_d (gdzie μ₀ to przenikalność magnetyczna próżni)

 

W typowych warunkach pracy wartość indukcji w punkcie pracy jest mniejsza od remanencji:

 

 B_d<B_r

 

Wynika to z następujących zależności.

 

1. W punkcie remanencji pole H jest równe zero. Z ogólnej zależności

 

B= J + μ₀H otrzymujemy dla H=0

 

B_r=J_r

 

Równość ta dotyczy wyłącznie wartości B i J w punkcie remanencji. Nie oznacza to, że B_r jest równe B_d.

 

2. W punkcie pracy pole odmagnesowujące jest ujemne. Dla H=H_d<0 zachodzi

 

B_d = J_d + μ₀H_d

 

Ponieważ składnik μ₀H_d jest ujemny jego dodanie zmniejsza wartość B_d w stosunku do J_d. Dlatego B_d<J_d.

 

3. Polaryzacja w punkcie pracy nie jest większa od remanencji polaryzacji.

Po przejściu od H=0 do ujemnego pola odmagnesowującego polaryzacja na typowej krzywej odmagnesowania nie wzrasta.

W związku z tym:

J_d≤J_r

Oznacza to, że B_d jest mniejsze od J_d, natomiast J_d nie jest większe od J_r. Ponieważ w punkcie remanencji J_r=B_r, ostatecznie otrzymujemy:

B_d<B_r

Istotne jest zrozumienie, że równość J_r=B_r dotyczy punktu remanencji przy H=0, natomiast B_d jest wartością indukcji w innym punkcie - punkcie pracy H=H_d<0

Zrozumienie polaryzacji J oraz indukcji B

Aby zrozumieć różnicę między punktami pracy wyznaczanymi na krzywych B(H) i J(H), warto najpierw wyjaśnić znaczenie obu tych wielkości.

Indukcja magnetyczna B opisuje całkowity stan pola magnetycznego w danym punkcie materiału. Można ją przedstawić jako sumę dwóch składowych.

 

Składowa pochodząca od namagnesowania materiału – polaryzacja magnetyczna J

W materiale ferromagnetycznym występują momenty magnetyczne związane ze strukturą materiału. W stanie namagnesowanym są one w znacznym stopniu uporządkowane.

Polaryzacja magnetyczna J opisuje wkład tego uporządkowania do indukcji magnetycznej. Jest bezpośrednio związana z magnetyzacją M zależnością:

 

J = μ₀M

 

Można więc powiedzieć, że J opisuje tę część indukcji magnetycznej, która wynika z namagnesowania samego materiału.

 

Składowa związana z natężeniem pola magnetycznego – μ₀H

Wielkość H opisuje natężenie pola magnetycznego w danym punkcie materiału. Pole to może być związane ze źródłami zewnętrznymi, na przykład cewką lub innym magnesem, ale może również wynikać z pola odmagnesowującego wytwarzanego przez sam magnes trwały.

 

W przypadku swobodnie pracującego magnesu trwałego, na który nie działa dodatkowe zewnętrzne pole magnetyczne, wewnętrzne pole H stanowi przede wszystkim pole odmagnesowujące. Jest ono skierowane przeciwnie do kierunku polaryzacji J.

Obie składowe łączy podstawowa zależność:

 

B = J + μ₀H

 

W II ćwiartce pętli histerezy magnetycznej magnesu trwałego polaryzacja J jest dodatnia, natomiast natężenie pola H ma wartość ujemną. Oznacza to, że składnik μ₀H zmniejsza wartość indukcji B w stosunku do polaryzacji J.

Można to zapisać intuicyjnie jako:

 

B = J − |μ₀H|

 

Jest to poprawne przy założeniu:

 

J > 0, H < 0

 

ponieważ wtedy:

 

μ₀H = −|μ₀H|

 

otrzymujemy:

 

B = J + μ₀H = J − |μ₀H|

 

Dlatego w typowym punkcie pracy magnesu znajdującym się w II ćwiartce pętli histerezy magnetycznej wartość indukcji B jest mniejsza od wartości polaryzacji J.

 

To rozróżnienie ma istotne znaczenie przy analizie punktu pracy magnesu. Charakterystyka B(H) uwzględnia zarówno namagnesowanie materiału, jak i wpływ pola H, natomiast charakterystyka J(H) pokazuje bezpośrednio, jak zmienia się polaryzacja magnetyczna materiału pod wpływem pola odmagnesowującego.

 

Z tego powodu ten sam fizyczny stan magnesu można przedstawić jednocześnie jako punkt pracy P_B na krzywej B(H) oraz odpowiadający mu punkt pracy P_J na krzywej J(H).

 

Oba punkty mają tę samą współrzędną H_d, lecz różne współrzędne pionowe: B_d oraz J_d.

 

Linia pracy (prosta obciążenia)

Stan pracy magnesu zależy między innymi od jego geometrii oraz od obwodu magnetycznego, w którym się znajduje. Zależność tę opisuje tzw. linia pracy, nazywana również prostą obciążenia.

 

Ta sama geometria i ten sam obwód magnetyczny odpowiadają różnym nachyleniom linii na wykresach B(H) oraz J(H).

 

Linia pracy na wykresie B(H)

Na wykresie indukcji B(H) linia pracy, czyli prosta obciążenia dla indukcji (ang. normal load line), ma nachylenie:

 

B_d/H_d = −μ₀Pc

 

Jej przecięcie z krzywą odmagnesowania B(H) wyznacza punkt pracy:

 

P_B = (H_d, B_d)

 

Współczynnik permeancji można zapisać jako:

 

Pc = −B_d/(μ₀H_d)

 

ponieważ w II ćwiartce H_d < 0, można również zapisać:

 

Pc = B_d/(μ₀|H_d|)

 

Linia pracy na wykresie J(H)

Ponieważ:

 

J = B − μ₀H

 

oraz dla linii pracy:

 

B = −μ₀PcH

 

otrzymujemy:

 

J = −μ₀(Pc + 1)H

 

Dlatego na wykresie polaryzacji J(H) linia pracy, czyli prosta obciążenia dla polaryzacji (ang. intrinsic load line), ma nachylenie:

 

J_d/H_d = −μ₀(Pc + 1)

 

Jej przecięcie z charakterystyką polaryzacji wyznacza punkt pracy:

 

P_J = (H_d, J_d)

 

Obie linie opisują ten sam stan fizyczny magnesu, lecz przedstawiony odpowiednio na charakterystyce B(H) i J(H).

 

Wpływ geometrii na współczynnik permeancji Pc

Współczynnik permeancji Pc określa nachylenie linii pracy. W przypadku swobodnego magnesu zależy przede wszystkim od jego proporcji geometrycznych względem kierunku namagnesowania.

Nie sama bezwzględna wysokość magnesu jest więc najważniejsza, lecz stosunek wymiaru w kierunku namagnesowania do wymiarów poprzecznych.

Przykładowo dwa geometrycznie podobne magnesy walcowe, takie jak Ø5 × 5 mm oraz Ø50 × 50 mm, mogą mieć zbliżone współczynniki permeancji mimo dziesięciokrotnej różnicy wymiarów.

 

W rzeczywistym obwodzie magnetycznym na wartość Pc wpływa również otoczenie magnesu, między innymi wielkość szczeliny powietrznej, obecność materiałów ferromagnetycznych oraz geometria całego obwodu.

 

W uproszczeniu:

 

• jeśli wymiar magnesu w kierunku namagnesowania jest duży w stosunku do wymiarów poprzecznych, Pc jest wysokie, a linia pracy na wykresie B(H) jest stroma. Punkt P_B znajduje się wtedy stosunkowo blisko wartości remanencji Br;
• jeśli magnes jest płaski w kierunku namagnesowania, Pc jest niskie, a linia pracy jest bardziej pozioma. Punkt pracy znajduje się wtedy bliżej ujemnych wartości H, czyli silniejszego pola odmagnesowującego.

Wpływ temperatury na punkty pracy

Wraz ze wzrostem temperatury właściwości materiału magnetycznego na ogół ulegają zmianie. 

 

W przypadku magnesów, które posiadają ujemny współczynnik temperaturowy koercji, i remanencji np. neodymowych wpływ temperatury dobrze ilustrują krzywe odmagnesowania.

Wraz ze wzrostem temperatury krzywe B(H) oraz J(H) zmieniają swoje położenie, a w niektórych materiałach również kształt. Można więc w pewnym uproszczeniu powiedzieć, że charakterystyka magnetyczna materiału „kurczy się” w stosunku do charakterystyki wyznaczonej w temperaturze pokojowej.

 

Jeżeli geometria magnesu oraz jego otoczenie magnetyczne pozostają niezmienione, nie zmienia się współczynnik permeancji Pc, a więc nie zmienia się również nachylenie odpowiednich linii pracy.

Linia pracy na wykresie B(H) oraz odpowiadająca jej linia pracy na wykresie J(H) zachowują zatem w przybliżeniu swoje nachylenie.

Zmieniają się natomiast charakterystyki odmagnesowania materiału, dlatego zmieniają się miejsca ich przecięcia z liniami pracy.

 

W efekcie wraz ze zmianą temperatury przesuwają się:

 

• punkt P_B na charakterystyce B(H),
• punkt P_J na charakterystyce J(H),

 

a wraz z nimi zmieniają się wartości H_d, B_d oraz J_d.

 

Szczególnie istotne znaczenie ma położenie punktu pracy P_J względem kolana krzywej J(H).

 

Jeżeli wraz ze wzrostem temperatury punkt pracy przesunie się w obszar kolana lub poza kolano charakterystyki J(H), w kierunku bardziej ujemnych wartości H, może dojść do częściowego nieodwracalnego rozmagnesowania magnesu.

 

Strata nieodwracalna oznacza, że samo obniżenie temperatury do wartości początkowej nie przywróci pierwotnego stanu namagnesowania. Odzyskanie utraconego namagnesowania wymaga ponownego namagnesowania magnesu odpowiednio silnym polem magnetycznym.

 

Jeżeli natomiast punkt pracy pozostaje na bezpiecznym, w przybliżeniu prostoliniowym odcinku charakterystyki J(H), zmiana właściwości związana z temperaturą jest w dużej części odwracalna i po ochłodzeniu magnes odzyskuje wartości wynikające z jego temperaturowej charakterystyki materiałowej.

Przy pozostałych warunkach takich samych magnes o wyższym współczynniku permeancji Pc ma zazwyczaj większy margines bezpieczeństwa względem kolana charakterystyki J(H) niż magnes o niskim Pc wykonany z tego samego materiału.

Dlatego magnes wysoki w kierunku namagnesowania jest zwykle bardziej odporny na nieodwracalne rozmagnesowanie temperaturowe niż bardzo płaski magnes o tych samych proporcjach materiałowych i pracujący w porównywalnych warunkach magnetycznych.

 

Ważne jest, aby w najwyższej przewidywanej temperaturze oraz przy największym przewidywanym polu odmagnesowującym punkt pracy P_J na charakterystyce J(H) pozostawał na jej bezpiecznym, w przybliżeniu prostoliniowym odcinku, z odpowiednim zapasem względem kolana charakterystyki. Pozwala to ograniczyć ryzyko wystąpienia nieodwracalnego rozmagnesowania magnesu.

 

---

Wszystko, co powyżej zostało napisane w podrozdziale "Wpływ temperatury na punkt pracy" dotyczy magnesów, które mają ujemny współczynnik temperaturowy koercji H_cJ i remanencji B_r. Dla magnesów ferrytowych sytuacja jest inna. Ich koercja H_cJ rośnie wraz ze wzrostem temperatury, ponieważ magnesy ferrytowe mają dodatni współczynnik temperaturowy koercji. Oznacza to, że magnesy ferrytowe są najbardziej narażone na nieodwracalne rozmagnesowanie w niskiej temperaturze. 

Krytyczny punkt temperaturowy zależy więc od typu materiału. 

Podsumowanie zależności

Pojęcie	Wykres indukcji B(H)	Wykres polaryzacji J(H)
Punkt pracy	PB = (Hd, Bd)	PJ = (Hd, Jd)
Wielkość na osi pionowej	Indukcja magnetyczna B	Polaryzacja magnetyczna J
Wartość w punkcie pracy	Bd	Jd
Współrzędna pola	Hd	Hd
Linia pracy / prosta obciążenia	Bd/Hd = −μ₀Pc	Jd/Hd = −μ₀(Pc + 1)
Zależność między wielkościami		Bd = Jd + μ₀Hd

Uwagi dotyczące nazewnictwa

Punkty pracy są nazywane i oznaczane w literaturze oraz dokumentacji technicznej w bardzo różny sposób.

Można spotkać między innymi określenia: punkt pracy, punkt pracy magnesu, punkt pracy na krzywej odmagnesowania, punkt pracy układu magnetycznego, operating point, working point, OP, P czy Pp.

 

W niniejszym artykule przyjęliśmy oznaczenia:

 

P_B – punkt pracy przedstawiony na charakterystyce B(H),

P_J – odpowiadający mu punkt pracy przedstawiony na charakterystyce J(H).

 

Takie rozróżnienie pozwala jednoznacznie wskazać, o którą charakterystykę chodzi, mimo że oba punkty opisują ten sam stan fizyczny magnesu i mają tę samą współrzędną H_d.

 

Podobny problem dotyczy linii pracy. W języku polskim nie funkcjonują powszechnie przyjęte odrębne określenia odpowiadające angielskim terminom normal load line oraz intrinsic load line.

Dlatego w artykule zastosowano określenia:

 

• linia pracy / prosta obciążenia dla indukcji – dla charakterystyki B(H),
• linia pracy / prosta obciążenia dla polaryzacji – dla charakterystyki J(H).

 

Pozwala to uniknąć sztucznego tłumaczenia angielskich terminów normal load line jako „normalna linia pracy” oraz intrinsic load line jako „wewnętrzna linia pracy”. 

Bibliografia

Parker, R. J.
(1990). Advances in Permanent Magnetism. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-82293-0.

Campbell, P.
(1994). Permanent Magnet Materials and their Application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-24996-1.

Cullity, B. D., Graham, C. D.
(2008). Introduction to Magnetic Materials (2nd ed.). Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-471-47741-9.

Coey, J. M. D.
(2010). Magnetism and Magnetic Materials. Cambridge University Press. DOI: 10.1017/CBO9780511845000.

IEC 60404-8-1:2023. Magnetic materials – Part 8-1: Specifications for individual materials – Magnetically hard materials. International Electrotechnical Commission.

IEC 60404-5:2015. Magnetic materials – Part 5: Permanent magnet (magnetically hard) materials – Methods of measurement of magnetic properties. International Electrotechnical Commission.

Shin-Etsu Rare Earth Magnets – Technical Information / Design Guide.