Maksymalny iloczyn energetyczny (BH)_max jest parametrem materiału magnetycznie twardego wyznaczanym z krzywej odmagnesowania B(H) (którą będziemy dalej nazywali normalną krzywą). (BH)_max nie jest natomiast bezpośrednią miarą indukcji na powierzchni, siły przyciągania ani energii konkretnego magnesu.

W tym artykule rozpatrujemy przede wszystkim magnes znajdujący się w idealnie otwartym obwodzie magnetycznym: samotnie w powietrzu, bez stalowego jarzma, bez uzwojeń, bez innych magnesów i bez zewnętrznego pola. Taki magnes nadal wytwarza we własnym wnętrzu pole odmagnesowujące wynikające z jego kształtu. Dla uproszczenia zakładamy jednorodność magnesu w całej swojej objętości.

Oznaczenia stosowane w artykule
Punkt A = (H_A, B_A) oznacza punkt, w którym występuje (BH)_max.
Punkt P_B = (H_d, B_d) oznacza rzeczywisty punkt pracy rozpatrywanego magnesu na normalnej krzywej B(H).
Symbol H_dem oznacza pole własne odmagnesowujące, aby nie pomylić go ze współrzędną H_d punktu P_B.

Czym jest (BH)_max?

Po pełnym namagnesowaniu próbki wyznacza się jej krzywą odmagnesowania. Dla magnesów trwałych najważniejsza jest II ćwiartka wykresu B–H, w której:

• indukcja B jest dodatnia,
• natężenie pola H jest ujemne, ponieważ jest skierowane przeciwnie do namagnesowania,
• iloczyn BH jest ujemny, dlatego jako dodatni parametr podaje się wartość −BH albo |BH|.

Dla każdego punktu normalnej krzywej B(H) można zbudować prostokąt o bokach B oraz |H|. Pole największego takiego prostokąta jest wartością (BH)_max. Ten sam punkt można znaleźć za pomocą hiperbol −BH = const. Hiperbola odpowiadająca największej wartości, która jeszcze dotyka krzywej B(H), przechodzi przez punkt A.

Jeżeli współrzędne tego punktu wynoszą H_A i B_A, to:

H_A i B_A nie są dowolnymi wartościami odczytanymi z wykresu. Są współrzędnymi jednego, charakterystycznego punktu materiału. Wydruki mogą podawać H_A jako dodatnią wartość bezwzględną, mimo że na osi II ćwiartki współrzędna H jest ujemna.

Otwarty obwód nie oznacza H = 0

Magnes znajdujący się sam w powietrzu nie jest poddany zewnętrznemu polu, ale jego własne bieguny wytwarzają pole skierowane wewnątrz materiału przeciwnie do magnetyzacji. Jest to pole własne odmagnesowujące H_dem.

Dla idealnie jednorodnie namagnesowanej elipsoidy można zapisać:

N jest współczynnikiem odmagnesowania zależnym od proporcji bryły, a M jest magnetyzacją. W rozpatrywanym przypadku nie działa pole zewnętrzne, dlatego całkowite pole wewnętrzne jest równe polu własnemu:

Długi magnes namagnesowany wzdłuż długości ma zwykle mniejsze |H_dem|. Krótki walec albo cienka płytka namagnesowana przez grubość ma większe |H_dem|. Kształt wybiera więc punkt pracy na krzywej materiału, lecz nie zmienia samej katalogowej wartości (BH)_max.

Punkt pracy P_B = (H_d, B_d)

Zachowując oznaczenia użyte we wcześniejszym artykule, rzeczywisty punkt pracy magnesu oznaczamy jako:

H_d jest współrzędną H punktu P_B, a B_d jego współrzędną B. W idealnie otwartym obwodzie bez pola zewnętrznego współrzędna H_d odpowiada całkowitemu polu wewnętrznemu, które pochodzi wyłącznie od pola własnego magnesu. W takim szczególnym przypadku liczbowo:

Nie oznacza to jednak, że symbol H_d powinien zawsze oznaczać pole własne. W tym artykule jest on przede wszystkim współrzędną punktu P_B. Dla samego składnika pola odmagnesowującego stosujemy jednoznaczny zapis H_dem.

Rzeczywisty iloczyn energetyczny w punkcie pracy wynosi:

Wartość ta nie musi być równa (BH)_max. Punkt P_B pokrywa się z punktem A tylko wtedy, gdy geometria magnesu ustawia linię pracy dokładnie w punkcie największego iloczynu:

Linia pracy w idealnie otwartym obwodzie

Jeżeli nie ma pola zewnętrznego ani ferromagnetycznego jarzma, uproszczona linia pracy przechodzi przez początek układu. W układzie SI można zdefiniować współczynnik permeancji:

Ponieważ H_d jest w II ćwiartce ujemne, P_c ma wartość dodatnią. Punkt przecięcia tej linii z krzywą B(H) wyznacza P_B. Zmiana proporcji magnesu zmienia nachylenie linii oraz położenie P_B, ale nie przesuwa punktu A na krzywej materiału.

Przykład: raport z histerezografu IS-300

Dostarczony raport dotyczy próbki NdFeB oznaczonej jako mw22x6n35, mierzonej w temperaturze 18,0°C. Próbka ma średnicę 22,01 mm i grubość 6,02 mm. Najważniejsze dla obecnego zagadnienia wyniki przedstawiono poniżej.

Kontrola wartości (BH)_max

B_A|H_A| = 0,599 T · 447,3 kA/m = 267,93 kJ/m³

Wynik jest praktycznie równy raportowanym 268,03 kJ/m³. Niewielka różnica wynika z zaokrąglenia B_A i H_A na wydruku.

Iloczyn w punkcie pracy P_B

B_d|H_d| = 0,439 T · 565,0 kA/m = 248,04 kJ/m³

Dla tego punktu pracy magnes wykorzystuje około:

248,04 / 268,03 · 100% = 92,5% wartości (BH)_max

Punkt P_B nie pokrywa się więc z punktem A, ale leży stosunkowo blisko optimum energetycznego. Współczynnik permeancji odpowiadający punktowi P_B, przy zastosowanej wyżej definicji, wynosi około 0,618. Linia przechodząca przez punkt A miałaby P_c około 1,066. Pokazuje to liczbowo, że do ustawienia punktu pracy dokładnie w A potrzebna byłaby inna geometria albo inna reluktancja obwodu.

Jak rozumieć J_d?

Raport podaje również J_d = 1,149 T. Nie jest to druga wartość B punktu P_B. J jest polaryzacją magnetyczną, a związek pomiędzy B, H i J w układzie SI ma postać:

Dla H_d = −565,0 kA/m otrzymujemy:

B_d = 1,149 T + μ₀(−565 000 A/m) = 1,149 T − 0,710 T = 0,439 T

Na oryginalnym wykresie górna czarna krzywa jest krzywą J(H), a ukośna czarna linia jest normalną krzywą B(H). Niebieska linia przechodzi przez odpowiadający punkt na krzywej J(H), dlatego niebieska pozioma linia pomocnicza wskazuje J_d. Punkt pracy P_B znajduje się przy tym samym H_d, ale na krzywej B(H), na wysokości B_d = 0,439 T.

Punkty A i P_B na wspólnym wykresie

Pomarańczowy prostokąt przedstawia (BH)_max. Niebieski prostokąt odpowiada rzeczywistemu iloczynowi −B_dH_d w punkcie P_B. Ich porównanie pokazuje różnicę pomiędzy maksymalną możliwością materiału a rzeczywistym wykorzystaniem tej możliwości przez magnes o określonej geometrii.

Pomarańczowa prosta to hipotetyczna linia pracy dla Pc​≈1,066, przy której P_B​=A. Pomarańczowa linia pokazuje więc, jaka zmiana geometrii lub reluktancji byłaby potrzebna w uproszczonym modelu, aby magnes pracował dokładnie przy (BH)_max​.

Czy (BH)_max zależy od kształtu magnesu?

Nie, jeżeli mówimy o katalogowym (BH)_max materiału. Dysk i długi walec wykonane z tego samego, jednorodnego materiału, prawidłowo namagnesowane i mierzone w tej samej temperaturze mają tę samą materiałową krzywą B(H), a zatem ten sam punkt A i tę samą wartość (BH)_max.

Jeżeli pytamy o rzeczywisty iloczyn −B_dH_d konkretnego magnesu to kształt magnesu zmienia pole własne magnesu, linię pracy oraz punkt P_B. Dlatego dwa magnesy z tego samego materiału mogą wykorzystywać różny procent katalogowego (BH)_max. Czyli (BH)_max nie zależy od kształtu magnesu ale procent wykorzystania dostępnego (BH)_max zależy od kształtu magnesu.

Najkrócej: kształt nie zmienia punktu A, lecz przesuwa punkt P_B po krzywej odmagnesowania.

Co zmienia pole zewnętrzne lub zamknięcie obwodu?

W obecności zewnętrznego pola całkowite pole wewnętrzne można w uproszczeniu zapisać jako:

Linia pracy nie musi wtedy przechodzić przez początek układu, a P_B może przesuwać się pod wpływem prądu w uzwojeniu, sąsiednich magnesów albo zmian reluktancji. Z kolei ferromagnetyczne jarzmo zmniejsza pole własne odmagnesowujące i zwykle przesuwa punkt pracy w stronę B_r. Są to ważne przypadki projektowe, lecz nie są podstawowym modelem analizowanym w tym artykule.

Jak histerezograf wyznacza te wielkości?

Histerezograf mierzy próbkę w kontrolowanym układzie z elektromagnesem i wyznacza krzywe B(H) oraz J(H). Następnie oprogramowanie oblicza −BH dla kolejnych punktów normalnej krzywej i znajduje maksimum, podając (BH)_max, B_A oraz H_A. Linia pracy i punkt P_B są natomiast wynikiem połączenia zmierzonej krzywej materiału z przyjętą geometrią lub współczynnikiem permeancji.

Oznacza to, że punkt A jest wynikiem charakterystyki materiałowej, natomiast punkt P_B dla otwartego obwodu nie jest po prostu kolejnym parametrem materiału. Zależy również od sposobu, w jaki konkretny magnes zamyka swój strumień przez otaczającą przestrzeń.

Podsumowanie

• (BH)_max jest największą wartością −BH na normalnej krzywej odmagnesowania B(H).
• Punkt A = (H_A, B_A) określa, gdzie materiał osiąga tę wartość maksymalną.
• Punkt P_B = (H_d, B_d) jest rzeczywistym punktem pracy konkretnego magnesu.
• W otwartym obwodzie bez pola zewnętrznego H_d wynika z pola własnego odmagnesowującego, zależnego od kształtu.
• Kształt nie zmienia materiałowego (BH)_max, ale decyduje, czy P_B leży blisko punktu A.
• Dla analizowanej próbki (BH)_max wynosi 268,03 kJ/m³, natomiast −B_dH_d w punkcie P_B wynosi około 248,04 kJ/m³, czyli 92,5% maksimum.
• Do iloczynu BH używa się wartości B, a nie J. J_d pomaga opisać stan magnetyzacji i powiązać krzywe J(H) oraz B(H).

Bibliografia

1. International Electrotechnical Commission, IEC 60404-5:2015 — Magnetic materials — Part 5: Permanent magnet (magnetically hard) materials — Methods of measurement of magnetic properties.
2. Laboratorio Elettrofisico, AMH-500 Hysteresisgraph — Hard Magnetic Materials. Dokumentacja wymienia między innymi (BH)_max, B_A, H_A, linię obciążenia i punkt pracy.
3. Arnold Magnetic Technologies, Calculating Losses Due to Reverse Applied Fields, Technical Note TN 0301.
4. Arnold Magnetic Technologies, Magnetic Properties of Permanent Magnets & Measuring Techniques.
5. Shin-Etsu Chemical Co., Ltd., N48H-F Nd-Fe-B Magnet — Demagnetization Curves at Elevated Temperature.
6. TDK Corporation, Ferrite Magnets, FB Series — Product Guide. Dokument zawiera między innymi przykłady dodatnich współczynników temperaturowych H_cJ ferrytów.
7. Raport pomiarowy z histerezografu IS-300, Laboratorio Elettrofisico Engineering, próbka mw22x6n35, NdFeB, pomiar z 8 kwietnia 2026 r., temperatura 18,0°C. Pomiar wykonano w firmie Enes Magnesy Paweł Zientek Sp. k.